第 5 讲 · 条件概率 P(A|B) 的深层哲学：先验信息坍缩、历史争议与荷兰赌无套利推导

1.1 从“独立”到“条件”：当事件之间开始传递信息（▶ P25 02:37–06:51）

在本讲开篇（▶ P25 03:10），张颢老师将第 4 讲与第 5 讲置于一个对称的宏大框架中：

• 独立（Independence）意味着两个事件之间没有关系、互不影响、彼此不传递任何信息；
• 条件（Conditioning）则恰恰相反，意味着两个事件之间存在关联、相互作用与信息传递（▶ P25 03:48）。

人类几千年来一直在思考“一件事是否会导致另一件事（因果关系 Causality）”，但哲学层面的因果争论从未达成共识。张颢老师再次重申了本课程的鲜明立场（▶ P25 05:02–06:14）：“一旦问题上升到哲学层面的争吵，我们就立刻停止。我们不做哲学争论，我们只讨论严格的数学问题！”

1.2 经典概率论视角：条件 $B$ 成为新的样本空间（▶ P25 07:15–12:07）

给定概率空间 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ 及事件 $A, B \in \mathcal{F}$（其中 $\mathbb{P}(B) > 0$），以 $B$ 为条件的 $A$ 的条件概率定义为（▶ P25 08:54）： $$\mathbb{P}(A \mid B) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)}$$ 张颢老师指出，这个看似只做了一次集合交与一次除法的简单公式，蕴含着极其深刻的样本空间变革（▶ P25 09:19–12:07）：

1. 条件概率首先仍然是一个合法的概率测度（满足非负性、规范性 $\mathbb{P}(B\mid B)=1$ 与对 $A$ 的可列可加性）；
2. 它与原概率 $\mathbb{P}(\cdot)$ 的唯一核心区别，在于【样本空间变了】！
   • 在未获知信息前，样本空间是全集 $\Omega$；
   • 当得知“事件 $B$ 已经发生”这一先验信息后，所有落在 $B$ 之外的样本点（$\omega \in B^c$）彻底出局，条件集合 $B$ 本身变成了新的样本空间 $\Omega_{\text{new}} = B$（▶ P25 10:12）；
   • 既然样本空间已经坍缩为 $B$，计算事件 $A$ 的概率时，落在 $B$ 外部的 $A\setminus B$ 自然失效，必须只保留 $A$ 中与新样本空间 $B$ 相关联的那一部分——即交集 $A \cap B$（▶ P25 11:12），最后除以新全集测度 $\mathbb{P}(B)$ 完成重归一化！

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1.3 条件概率对经典形式逻辑“三段论”的覆盖与推广（▶ P25 12:07–20:34 & ▶ P27 02:22–06:06）

为什么说条件概率是人类认知工具的重大升级？张颢老师在黑板上用条件概率重新审视了经典逻辑中最著名的三段论（Syllogism）：

经典逻辑三段论：若 $A \implies B$（$A$ 能推出 $B$），且 $B \implies C$（$B$ 能推出 $C$），则必有 $A \implies C$。

如何用条件概率翻译并证明这一逻辑定律？

• 翻译（▶ P25 13:17）：“$A$ 发生则必然导致 $B$ 发生（$A \implies B$）”在概率上的精确表述就是 $\mathbb{P}(B \mid A) = 1$；同理，“$B \implies C$”即 $\mathbb{P}(C \mid B) = 1$。我们要证明：$\mathbb{P}(C \mid A) = 1$。
• 张颢黑板严格证明（▶ P25 14:04–17:42 及 ▶ P27 02:22–06:06 课间答疑补全）：
  1. 将 $\mathbb{P}(C \mid A)$ 按 $B$ 与 $B^c$ 拆分为两项： $$\mathbb{P}(C \mid A) = \mathbb{P}(BC \mid A) + \mathbb{P}(B^c C \mid A)$$
  2. 由已知 $\mathbb{P}(B \mid A) = 1 \implies \mathbb{P}(B^c \mid A) = 1 - \mathbb{P}(B \mid A) = 0$。因为 $B^c C \subset B^c$，由单调性知第二项满足 $0 \le \mathbb{P}(B^c C \mid A) \le \mathbb{P}(B^c \mid A) = 0$，故 $\mathbb{P}(B^c C \mid A) = 0$！
  3. 再看第一项 $\mathbb{P}(BC \mid A)$（▶ P27 03:00–05:42）：由已知 $\mathbb{P}(C \mid B) = 1 \implies \mathbb{P}(C^c \mid B) = \frac{\mathbb{P}(BC^c)}{\mathbb{P}(B)} = 0 \implies \mathbb{P}(BC^c) = 0$（即 $B\setminus BC$ 是零测集 / 空集）。因此： $$\mathbb{P}(AB) = \mathbb{P}(ABC) + \mathbb{P}(ABC^c) = \mathbb{P}(ABC) + 0 \implies \mathbb{P}(BC \mid A) = \frac{\mathbb{P}(ABC)}{\mathbb{P}(A)} = \frac{\mathbb{P}(AB)}{\mathbb{P}(A)} = \mathbb{P}(B \mid A) = 1$$
  4. 综上立得 $\mathbb{P}(C \mid A) = 1 + 0 = 1$！

思想升华（▶ P25 19:09–20:06）：传统逻辑只能处理“非 $1$ 即 $0$”的绝对必然推理（用条件概率处理它是“大炮打蚊子”，只用到了区间的两个端点 $\{0, 1\}$）；而条件概率将逻辑推理无缝拓展到了整个开区间 $(0, 1)$，使人类拥有了在不确定性迷雾中进行量化逻辑推演的数学武器。

2.1 引发百年争论的经典问题（▶ P26 00:32–03:59）

在 P26 中，张颢老师讲授了一个在概率论历史上引发无数争吵的著名案例（Boy or Girl Paradox）：

问题：已知某家庭有两个孩子，并且我们已经知道“其中有一个是男孩”（作为已知条件）。请问：这家另一个孩子也是男孩（即两个都是男孩）的条件概率有多大？

既然研究条件概率，第一步永远是明确总样本空间 $\Omega$（▶ P26 02:27）。设每个孩子是男（男 / $B$）或女（女 / $G$）等可能且独立，将两个孩子区分次序后，总样本空间共有 4 个等可能元素（▶ P26 03:02）： $$\Omega = \bigl\{(\text{男}, \text{男}),\; (\text{男}, \text{女}),\; (\text{女}, \text{男}),\; (\text{女}, \text{女})\bigr\}$$ 然而，围绕条件“其中有一个男孩”究竟如何改变样本空间，历史上分化出了两派截然不同的解法（$1/3$ 派 vs $1/2$ 派）！

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2.2 两种采样机制与两种条件样本空间（▶ P26 03:59–12:08）

看法 ①：以“家庭”为单位挨家挨户敲门采样 $\implies \mathbb{P}_1 = \frac{1}{3}$（▶ P26 04:33–06:49）

• 有序对的含义（按年龄长幼排序）：在 $\Omega$ 的二元组 $(c_1, c_2)$ 中，第一个位置代表老大（哥哥/姐姐），第二个位置代表老二（弟弟/妹妹）。
• 采样过程：调查员挨家挨户敲门（以家庭为等可能抽样单位），问户主：“你们家两个孩子里有没有男孩？”只要家里至少有一个男孩，户主就回答“有”。
• 条件样本空间 $B_{\text{家庭}}$：在全部 4 种等可能家庭中，满足“家里有男孩”的子集包含 3 个等可能元素： $$B_{\text{家庭}} = \bigl\{(\text{男}, \text{男}),\; (\text{男}, \text{女}),\; (\text{女}, \text{男})\bigr\}$$ 其中“两个都是男孩”只占 $(\text{男}, \text{男})$ 这 1 个元素，因此条件概率为： $$\mathbb{P}_1(\text{两男} \mid B_{\text{家庭}}) = \frac{1}{3}$$ (注：如果调查员问的是“你们家老大（长子）是不是男孩？”，则条件集直接缩减为 $\{(\text{男},\text{男}), (\text{男},\text{女})\}$，概率则为 $1/2$。)

看法 ②：在大街上以“孩子”为单位随机偶遇采样（张颢黑板撇号记号 $\text{男}'$）$\implies \mathbb{P}_2 = \frac{1}{2}$（▶ P26 06:49–11:32）

另一派学者提出质疑：如果我不是挨家挨户查户口，而是在大街上随机遇到一个来自双孩家庭的孩子，亲眼看见这个孩子是男孩，再问他家里另一个孩子也是男孩的概率呢？ 张颢老师在黑板上引入了一个极其精妙的撇号（Prime $'$）记号（▶ P26 08:21–09:48）：

• 重新解读有序对次序（按“是否被采样到”排序）： 我们把样本空间 $\Omega$ 的 4 个元素改写为，在每一个二元组的第一个位置加上一个撇号 $'$： $$\Omega' = \bigl\{(\text{男}', \text{男}),\; (\text{男}', \text{女}),\; (\text{女}', \text{男}),\; (\text{女}', \text{女})\bigr\}$$ 请注意（▶ P26 08:44）：这里第一个位置带撇号，绝不代表他比第二个孩子年龄大，而是代表“他是那个在大街上被我们采样到（亲眼看到）的孩子”，第二个位置则是他留在家里没被看到的兄弟姐妹！
• 条件样本空间 $B_{\text{孩子}}$：既然我们在大街上被采样到的那第一个孩子（带撇号位置）是男孩，那么 $(\text{女}', \text{男})$ 与 $(\text{女}', \text{女})$ 全部出局！新的条件样本空间只剩下 2 个等可能元素（▶ P26 09:48–10:14）： $$B_{\text{孩子}} = \bigl\{(\text{男}', \text{男}),\; (\text{男}', \text{女})\bigr\}$$ 在这 2 个元素中，家里另一个孩子也是男孩 $(\text{男}', \text{男})$ 恰好占 1 个，故条件概率直接变为： $$\mathbb{P}_2(\text{两男} \mid B_{\text{孩子}}) = \frac{1}{2}\;\;!$$

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2.3 历史公案的终极定论：如同 Bertrand 悖论，两个结果全对！（▶ P26 11:32–13:39）

为什么同样一句话“已知家里有两个孩子，其中有一个是男孩”，算出了 $\frac{1}{3}$ 和 $\frac{1}{2}$ 两个答案？历史上甚至有人真的去做大规模社会抽样来给自己支持的答案找证据。 张颢老师在 ▶ P26 12:33–13:39 给出了与第 1 讲 Bertrand 弦长悖论一脉相承的定性结论：

“事实证明：1/3 和 1/2 两个结果全是对的！它们真的都是对的，就如同我们的 Bertrand 悖论一样——对于采样过程的不同理解（对家庭采样 vs 对孩子采样），导致条件概率所依赖的【新样本空间】发生了改变（从 3 个元素变成了 2 个元素）。样本空间不一样了，算出来的结果不同太正常了，无所谓谁对谁错！”

3.1 概率的赌徒/交易员解释：从足球博彩到期权定价（▶ P27 06:50–18:24）

在 ▶ P27 06:50，张颢老师话锋一转，提出了一个在常规教科书中极少见到的深刻视角：概率的赌徒解释（或金融交易员解释，Gambler's / Trader's Interpretation）。

• 二元彩票（Ticket）模型（▶ P27 07:47–12:18）： 考察一场足球比赛（例如巴西男足对阵中国男足），博彩公司发行一张针对事件 $A = \{\text{巴西男足胜}\}$ 的彩票：
  • 赔付规则（Payoff）：若事件 $A$ 发生（巴西胜），持有彩票者获赔 $100$ 元（或归一化为 $1$ 元）；若 $A$ 不发生，赔付为 $0$ 元（血本无归）。
  • 票面价格 = 概率认知：你愿意花多少钱（或博彩公司定价多少钱）买卖这张彩票？如果博彩公司只卖 $50$ 元，所有人都会疯抢；因为巴西胜几乎板上钉钉，博彩公司一定会定一个极高的价格（如 $95$ 元甚至 $100$ 元）；反之若买中国男足胜，定价可能只有 $2.5$ 元或 $5$ 元（▶ P27 14:02）。
  • 核心定义：将赔付额归一化为 $1$ 元后（赔付函数恰为第 4 讲的示性函数 $\mathbf{1}_A(\omega)$），这张彩票的公平市场定价 $p_A$，就是市场（庄家/交易员）赋予事件 $A$ 的概率 $\mathbb{P}(A)$！
• 期望值（Expectation）的统一（▶ P28 10:06–12:40）： 为什么定价恰好等于概率？因为彩票的公平价格正是其未来赔付的数学期望： $$\text{Price}(A) = 1 \cdot \mathbb{P}(A) + 0 \cdot \mathbb{P}(A^c) = \mathbb{P}(A) = \mathbb{E}[\mathbf{1}_A]$$ 张颢老师指出（▶ P27 15:48–17:46）：无论是华尔街做股票交易、期权（Options）定价还是保险精算，其底层逻辑与买球博彩毫无二致，区别仅在于金融交易员会动用海量历史数据挖掘与跟踪调查来校准先验定价。

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3.2 公平原则（无套利 / 荷兰赌定理）导出有限可加性（▶ P27 18:24–P28 10:06）

如果庄家给不同事件定出的彩票价格不遵守 Kolmogorov 概率公理，会发生什么？张颢老师指出：定价必须遵循公平原则，在金融数学中称为无套利原则（No-Arbitrage Principle，又称荷兰赌 Dutch Book，▶ P27 19:32 & ▶ P28 01:03）：

什么叫套利（Arbitrage）？ 套利就是通过设计一组买卖交易，彻底消除一切不确定性风险，使得无论未来发生哪种比赛结果（在所有状态 $\omega \in \Omega$ 下），交易员都能稳赚正收益（空手套白狼）！

黑板推演：若互斥事件 $A \cap B = \varnothing$ 违反 $\mathbb{P}(A\cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B)$，如何精准套利？（▶ P28 01:03–09:48）

设巴西队与波兰队等角逐某奖项，事件 $A = \{\text{巴西胜}\}$ 与 $B = \{\text{波兰胜}\}$ 互斥（$A\cap B = \varnothing$）。假定赔付额均为 $100$ 元，庄家开出三张彩票的报价违反了可加性：

• 彩票 $T_1$（赌 $A$ 巴西胜）：售价 $60$ 元（即 $\mathbb{P}(A) = 0.6$）；
• 彩票 $T_2$（赌 $B$ 波兰胜）：售价 $30$ 元（即 $\mathbb{P}(B) = 0.3$）；
• 彩票 $T_3$（赌 $A \cup B$ 巴西或波兰胜）：庄家错误地定价为 $80$ 元（即 $\mathbb{P}(A\cup B) = 0.8 \neq 0.6 + 0.3$）。

交易员的无风险套利操作（买低卖高，▶ P28 04:42–08:36）： 交易员立即卖出 1 张 $T_1$（收 $60$ 元）、卖出 1 张 $T_2$（收 $30$ 元），同时买入 1 张 $T_3$（付 $80$ 元）。期初交易净落袋现金为 $60 + 30 - 80 = +10$ 元！现在检验期末所有可能状态下的赔付结算：

最终发生的状态	卖出 $T_1$ ($A$) 赔付	卖出 $T_2$ ($B$) 赔付	买入 $T_3$ ($A\cup B$) 赔付	期末赔付净额	期初交易净额	总净收益
状态 ①：巴西胜 ($\omega \in A$)	$-100$ 元	$0$ 元	$+100$ 元	$0$ 元	$+10$ 元	稳赚 $+10$ 元
状态 ②：波兰胜 ($\omega \in B$)	$0$ 元	$-100$ 元	$+100$ 元	$0$ 元	$+10$ 元	稳赚 $+10$ 元
状态 ③：两队皆未胜 ($\omega \notin A\cup B$)	$0$ 元	$0$ 元	$0$ 元	$0$ 元	$+10$ 元	稳赚 $+10$ 元

无论球赛结果如何，期末赔付 $100\%$ 互相抵消，交易员永远净赚 $10$ 元！反之若 $T_3$ 定价高于 $90$ 元（如 $95$ 元），只需反向操作（买 $T_1, T_2$，卖 $T_3$）同样稳赚。因此，无套利铁律迫使互斥事件定价必须满足 $\mathbb{P}(A\cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B)$（▶ P28 09:10）！

4.1 终极追问：条件概率公式 $\mathbb{P}(A\mid B) = \mathbb{P}(AB)/\mathbb{P}(B)$ 是天生规定的，还是可以严格推导出来的？（▶ P28 16:31–20:34）

在 ▶ P28 17:32–18:32，张颢老师向全班提出了一个极具冲击力的问题：

“绝大部分文献和教科书，对于条件概率 $\mathbb{P}(A\mid B) = \frac{\mathbb{P}(AB)}{\mathbb{P}(B)}$ 都是直接当成定义（或公理）拍在桌子上。现在我们要让大家知道：这个公式根本不是天生拍脑袋定的，它是可以从【无套利公平原则】里严格推导出来的！”

当新信息（Evidence，记为事件 $B$ 或课堂板书中的 $E$）揭晓后，原本赌事件 $A$ 发生的彩票价格必须从先验价格 $\mathbb{P}(A)$ 更新为一个条件新价格 $q = \mathbb{P}(A\mid B)$（▶ P29 00:06–01:30）。为什么这个新价格 $q$ 必须等于 $\frac{\mathbb{P}(AB)}{\mathbb{P}(B)}$？下面我们给出三合约静态头寸矩阵证明与张颢老师黑板上的两日动态交易证明，两者在代数上完全同构！

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4.2 证明路径一：三种彩票合约（普通票 $B$、联合票 $AB$、附条件退本金票 $A\mid B$）的无套利头寸矩阵

考虑市场上同时交易的三种标准二元彩票合约（赔付额均为 $1$ 元）：

1. 普通彩票 $B$（价格 $p_B = \mathbb{P}(B)$）：若事件 $B$ 发生赔付 $1$ 元，否则赔 $0$ 元（净收益 $\mathbf{1}_B - p_B$）；
2. 联合彩票 $AB$（价格 $p_{AB} = \mathbb{P}(AB)$）：若 $A$ 与 $B$ 同时发生赔付 $1$ 元，否则赔 $0$ 元（净收益 $\mathbf{1}_{AB} - p_{AB}$）；
3. 附条件彩票 $A\mid B$（价格 $q$）：这是一张以 $B$ 发生为生效前提的条件合约（对应 ▶ P29 18:06 & ▶ P30 10:26“只有当条件事件发生时交易才生效，若 $B$ 不发生则交易作废/退还本金 $q$”）：
   • 若 $B$ 不发生（$\omega \in B^c$）：合约作废，庄家将购票本金 $q$ 原数退还给赌徒，净损益为 $0$；
   • 若 $B$ 发生且 $A$ 发生（$\omega \in AB$）：赌徒获赔 $1$ 元，扣除购票成本 $q$，净收益为 $1 - q$；
   • 若 $B$ 发生但 $A$ 未发生（$\omega \in A^c B$）：赌徒获赔 $0$ 元，损失购票成本，净收益为 $-q$。

构造无风险套利组合： 假设庄家报出的条件价格 $q \neq \frac{p_{AB}}{p_B}$（即 $p_{AB} - q\cdot p_B \neq 0$）。赌徒立即建立如下头寸组合：

• 买入 $1$ 份附条件彩票 $A\mid B$；
• 卖出（做空）$1$ 份联合彩票 $AB$（期初收现金 $p_{AB}$）；
• 买入 $q$ 份普通彩票 $B$（期初付现金 $q\cdot p_B$）。

现在将样本空间 $\Omega$ 不重不漏地划分为三个互斥区域 $AB$、$A^c B$、$B^c$，在黑板上列出该组合的净现金流矩阵：

头寸组合明细	区域 ①：$\omega \in AB$（$A,B$ 皆发生）	区域 ②：$\omega \in A^c B$（$B$ 发生，$A$ 未发生）	区域 ③：$\omega \in B^c$（$B$ 未发生，条件票退本金）
① 买 $1$ 份条件票 $A\mid B$（价 $q$）	$+1 - q$	$-q$	$0$（交易作废/退本金）
② 卖 $1$ 份联合票 $AB$（价 $p_{AB}$）	$+p_{AB} - 1$	$+p_{AB}$	$+p_{AB}$
③ 买 $q$ 份普通票 $B$（价 $q\cdot p_B$）	$+q(1 - p_B)$	$+q(1 - p_B)$	$-q\cdot p_B$
三项相加总净收益 $\Delta W(\omega)$	$\mathbf{p_{AB} - q\cdot p_B}$	$\mathbf{p_{AB} - q\cdot p_B}$	$\mathbf{p_{AB} - q\cdot p_B}$

震惊的结论：

• 在区域 ①（$AB$）：$(1 - q) + (p_{AB} - 1) + (q - q p_B) = p_{AB} - q p_B$；
• 在区域 ②（$A^c B$）：$(-q) + p_{AB} + (q - q p_B) = p_{AB} - q p_B$；
• 在区域 ③（$B^c$）：$0 + p_{AB} - q p_B = p_{AB} - q p_B$！

无论未来 $\omega$ 落在 $AB$、$A^c B$ 还是 $B^c$ 中的哪一个区域，随机波动项 $1$ 和 $q$ 全部被完美对冲抵消，赌徒的总净收益恒等于同一个确定性常数 $\Delta W = p_{AB} - q\cdot p_B$！

• 若 $q < p_{AB}/p_B$，则 $p_{AB} - q p_B > 0$，赌徒按上述组合在所有状态下稳赚正收益；
• 若 $q > p_{AB}/p_B$，则赌徒把上述三笔头寸全部反向操作（卖 $1$ 份 $A\mid B$、买 $1$ 份 $AB$、卖 $q$ 份 $B$），净收益恒为 $q p_B - p_{AB} > 0$，同样稳赚不赔！

因此，要想让市场上不存在无风险套利（Dutch Book），唯一解就是令恒等净收益为 $0$： $$p_{AB} - q\cdot p_B = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad q = \mathbb{P}(A\mid B) = \frac{p_{AB}}{p_B} = \frac{\mathbb{P}(AB)}{\mathbb{P}(B)}\;\;!$$

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4.3 证明路径二：张颢黑板两日动态交易推演（▶ P29 01:30–P30 19:50）

在 P29–P30 的课堂板书中，张颢老师用事件 $E$（Evidence）代表条件事件 $B$，设新价格 $\mathbb{P}_E(A)$ 与标准公式 $\frac{\mathbb{P}(AE)}{\mathbb{P}(E)}$ 之间存在偏差（▶ P29 02:05）： $$\Delta := \frac{\mathbb{P}(AE)}{\mathbb{P}(E)} - \mathbb{P}_E(A) \neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \mathbb{P}_E(A) = \frac{\mathbb{P}(AE)}{\mathbb{P}(E)} - \Delta$$ 张颢老师将上述三合一组合打包设计为跨两天的动态交易策略（▶ P29 02:38–07:05 & ▶ P30 09:28–18:41）：

• 第一天（尚未观测到 $E$）：设计复合彩票 $T_1$，约定赔付规则为：若 $AE$ 发生赔 $1$；若 $E^c$（$E$ 不发生）赔 $\frac{\mathbb{P}(AE)}{\mathbb{P}(E)}$；此外只要 $E$ 发生还额外赔付 $\Delta$。按公平期望原则，第一天买入 $T_1$ 需支付票价（▶ P29 05:08）： $$\text{Price}(T_1) = \mathbb{P}(AE) + \mathbb{P}(E^c)\frac{\mathbb{P}(AE)}{\mathbb{P}(E)} + \Delta\cdot\mathbb{P}(E) = \frac{\mathbb{P}(AE)}{\mathbb{P}(E)} + \Delta\cdot\mathbb{P}(E)$$
• 第二天（观测 $E$ 是否发生，▶ P30 10:26）：
  • 若看到 $E$ 发生了：立即在市场上以条件价格 $\mathbb{P}_E(A) = \frac{\mathbb{P}(AE)}{\mathbb{P}(E)} - \Delta$ 卖出一张条件票 $T_2$（若 $A$ 发生需向买方赔付 $1$ 元）；
  • 若看到 $E$ 没有发生：第二天按兵不动，不进行任何交易（$T_2$ 不生效，▶ P30 14:50）。
• 四状态全分支结算（▶ P30 10:57–18:05）：
  1. $A$ 发生且 $E$ 发生（$AE$）：买 $T_1$ 花去 $-\bigl(\frac{\mathbb{P}(AE)}{\mathbb{P}(E)} + \Delta\mathbb{P}(E)\bigr)$，获赔 $1 + \Delta$；第二天卖 $T_2$ 收入 $+\bigl(\frac{\mathbb{P}(AE)}{\mathbb{P}(E)} - \Delta\bigr)$，因 $A$ 发生赔出 $-1$。四项相加，$1$、$\Delta$ 与 $\frac{\mathbb{P}(AE)}{\mathbb{P}(E)}$ 全部抵消，净收益为 $-\Delta\cdot\mathbb{P}(E)$！
  2. $A$ 未发生但 $E$ 发生（$A^c E$）：买 $T_1$ 花去同上，仅获赔 $+\Delta$；第二天卖 $T_2$ 收入 $+\bigl(\frac{\mathbb{P}(AE)}{\mathbb{P}(E)} - \Delta\bigr)$，且因 $A$ 未发生无需赔付（$0$）。相加后净收益依然是 $-\Delta\cdot\mathbb{P}(E)$！
  3. $E$ 未发生（含 $AE^c$ 与 $A^c E^c$，▶ P30 14:14–17:30）：第二天不交易；第一天买 $T_1$ 花去 $-\bigl(\frac{\mathbb{P}(AE)}{\mathbb{P}(E)} + \Delta\mathbb{P}(E)\bigr)$，而 $T_1$ 在 $E^c$ 下的预设赔付恰为 $+\frac{\mathbb{P}(AE)}{\mathbb{P}(E)}$。两者相抵，净收益仍然是 $-\Delta\cdot\mathbb{P}(E)$！

四种状态下净收益恒等于非零常数 $-\Delta\cdot\mathbb{P}(E)$（有稳定的“套亏”就意味着对手方有稳定的“套利”，▶ P30 17:30），矛盾！故必有 $\Delta = 0$，即 $\mathbb{P}_E(A) = \frac{\mathbb{P}(AE)}{\mathbb{P}(E)}$！