第 10 讲 · 随机变量的函数 Y = g(X)：雅可比密度公式、χ² / Gamma 分布与逆变换采样

1.1 问题设定与张颢老师的“第一性原理”忠告（▶ P52 02:14–06:50）

给定概率空间 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ 上的随机变量 $X$，其分布函数 $F_X(x)$ 与概率密度 $f_X(x) = F_X'(x)$ 均已知。现在将 $X$ 输入一个确定性函数 $g(\cdot)$（注意 ▶ P52 04:58：函数 $g$ 本身没有任何随机性），得到新的随机变量 $Y = g(X)$。如何求 $Y$ 的分布函数 $F_Y(y)$ 与概率密度 $f_Y(y)$？

在 ▶ P52 05:35–06:03 与 17:19–17:42，张颢老师向全班发出了极为醒目的方法论警告：

“今天我们会推导出一些所谓的变换公式，但我严重不推荐大家去背、去套公式！第一它难记，正负号和逆函数极易代错；第二容易遗漏定义域与分段区间；第三套公式会让你的头脑不清醒。相反，永远从分布函数定义 $F_Y(y) = \mathbb{P}(Y \le y)$ 出发，概念清晰、头脑清楚，考试时多花不了几秒钟，磨刀不误砍柴功！”

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1.2 单调可微映射：为什么分母是导数的绝对值 $|g'(x)|$？（▶ P52 07:12–16:45）

为了把未知的 $Y$ 转化为已知的 $X$，必须将 $Y = g(X)$ 代入分布函数定义 $F_Y(y) = \mathbb{P}(g(X) \le y)$ 并尝试把 $g$ “逆过去”。按 $g(x)$ 的单调性分为两种情形：

1. 情形 ①：$g(x)$ 严格单调上升（$g'(x) > 0$，▶ P52 07:37–10:43） 此时反函数 $g^{-1}$ 存在，且两边作用 $g^{-1}$ 时不等号方向不变： $$F_Y(y) = \mathbb{P}\bigl(g(X) \le y\bigr) = \mathbb{P}\bigl(X \le g^{-1}(y)\bigr) = F_X\bigl(g^{-1}(y)\bigr)$$ 两边对 $y$ 求导，由复合函数求导法则与反函数求导公式 $\bigl(g^{-1}(y)\bigr)' = \frac{1}{g'(g^{-1}(y))}$ 立得： $$f_Y(y) = F_Y'(y) = f_X\bigl(g^{-1}(y)\bigr) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}g^{-1}(y) = \frac{f_X\bigl(g^{-1}(y)\bigr)}{g'\bigl(g^{-1}(y)\bigr)}$$

2. 情形 ②：$g(x)$ 严格单调下降（$g'(x) < 0$，▶ P52 11:07–15:28） 此时反函数依然存在，但当把 $g$ 逆过去时，不等号方向必须翻转（这是初学者最容易掉入的坑！）： $$F_Y(y) = \mathbb{P}\bigl(g(X) \le y\bigr) = \mathbb{P}\bigl(X \ge g^{-1}(y)\bigr) = 1 - F_X\bigl(g^{-1}(y)\bigr)$$ （注：▶ P52 13:17 指出这里假定 $X$ 为连续型随机变量，单点集 $\{X = g^{-1}(y)\}$ 质量为 $0$；即便有离散质量，求导时也只多出一个 $\delta$ 冲激，不影响连续部分的本质。） 现在对 $y$ 求导，前面的 $1 - F_X(\cdot)$ 会多出一个负号： $$f_Y(y) = -f_X\bigl(g^{-1}(y)\bigr) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}g^{-1}(y) = -\frac{f_X\bigl(g^{-1}(y)\bigr)}{g'\bigl(g^{-1}(y)\bigr)}$$

3. 合二为一与物理几何直觉（▶ P52 15:28–16:19）： 注意到当 $g$ 单调上升时 $g' > 0$（前面无负号），当 $g$ 单调下降时 $g' < 0$（前面带负号 $-g' = |g'|$）。因此两种情形完美统一为一维雅可比变换公式： $$f_Y(y) = \frac{f_X\bigl(g^{-1}(y)\bigr)}{\bigl|g'\bigl(g^{-1}(y)\bigr)\bigr|} = f_X(x)\,\left|\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}\right|\Bigg|_{x=g^{-1}(y)}$$

   • 为什么分母是 $|g'(x)|$？（微元概率守恒）：在 $x$ 处取微元区间 $[x, x+\mathrm{d}x]$，它包含的概率质量为 $f_X(x)|\mathrm{d}x|$；经过映射 $y=g(x)$ 后，该微元被拉伸为长度 $|\mathrm{d}y| = |g'(x)|\cdot|\mathrm{d}x|$ 的输出微元。由微元概率质量守恒 $f_Y(y)|\mathrm{d}y| = f_X(x)|\mathrm{d}x|$，立即看出：映射斜率 $|g'(x)|$ 越陡峭，输出区间 $|\mathrm{d}y|$ 被拉伸得越长，概率密度 $f_Y(y) = f_X(x)/|g'(x)|$ 就越被稀释；反之，在驻点 $g'(x)=0$ 附近，微元被剧烈挤压，输出密度会急剧隆起甚至发散！

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1.3 分段单调（多对一）映射与“Magic 魔法期望公式”（▶ P52 18:15–P53 15:28）

如果 $g(x)$ 不是全局单调，而是像波浪线或抛物线那样有若干个单调分支（多对一映射，▶ P52 18:47–P53 03:26），考察小区间概率： $$f_Y(y) = \lim_{\Delta y \to 0^+} \frac{\mathbb{P}(y < Y \le y + \Delta y)}{\Delta y}$$ 当 $Y$ 落在两条水平线 $[y, y+\Delta y]$ 之间时，对应的 $X$ 落在所有满足 $g(x_k)=y$ 的分支逆像小区间 $I_k$ 的不交并中。在每个局部单调分支上各自应用单调公式（上升段直接减，下降段颠倒高低端点后同样化为 $|g'(x_k)|$），相加即得一般分段单调雅可比公式： $$f_Y(y) = \sum_{k:\,g(x_k)=y} \frac{f_X(x_k)}{\bigl|g'(x_k)\bigr|}$$

课堂高光：求 $\mathbb{E}[g(X)]$ 的“Magic 魔法公式”（▶ P53 04:03–15:28）

既然求 $f_Y(y)$ 如此繁琐（甚至当 $g(x)$ 剧烈震荡或处处不可微时根本写不出 $f_Y(y)$），那如果我们要算 $Y=g(X)$ 的期望 $\mathbb{E}[Y]$，难道必须先算出 $f_Y(y)$ 再算 $\int y f_Y(y)\,\mathrm{d}y$ 吗？ 张颢老师在 ▶ P53 06:35 写下了概率论中鼎鼎大名的 Magic 公式（魔法公式 / 无意识统计学家法则 LOTUS）： $$\mathbb{E}[Y] = \int_{-\infty}^{\infty} y\,f_Y(y)\,\mathrm{d}y \xlongequal{\text{Magic!}} \int_{-\infty}^{\infty} g(x)\,f_X(x)\,\mathrm{d}x$$

• 为什么当 $g$ 单调时它很自然？ 因为作换元 $y=g(x)$ 时，$f_Y(y)\,\mathrm{d}y = \frac{f_X(x)}{|g'(x)|}\cdot |g'(x)|\,\mathrm{d}x = f_X(x)\,\mathrm{d}x$，雅可比因子恰好与微分项完美抵消（▶ P53 07:41）！
• 为什么它叫 Magic（魔法）？ 因为哪怕 $g(x)$ 根本不单调、有无穷多个分支、间断甚至 $f_Y(y)$ 根本写不出来，只要 $g$ 是可测函数，上式永远恒成立（▶ P53 08:18–09:33）！
• 样本空间抽象积分的本质解释（▶ P53 10:52–14:59）：从测度论高度看，期望本质上是在样本空间 $\Omega$ 上以概率测度 $\mathbb{P}(\mathrm{d}\omega)$ 为权重作 Lebesgue 积分： $$\mathbb{E}[X] = \int_{\Omega} X(\omega)\,\mathbb{P}(\mathrm{d}\omega) \quad\Longrightarrow\quad \mathbb{E}\bigl[g(X)\bigr] = \int_{\Omega} g\bigl(X(\omega)\bigr)\,\mathbb{P}(\mathrm{d}\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} g(x)\,f_X(x)\,\mathrm{d}x$$ 一旦站在样本空间 $\Omega$ 上看问题，$g(X(\omega))$ 只不过是样本点 $\omega$ 的另一个复合函数，根本不需要绕道 $Y$ 的值域密度 $f_Y(y)$！

2.1 黑板核心算例：标准高斯平方 $X \sim \mathcal{N}(0,1) \implies Y = X^2$（▶ P54 00:00–05:51）

设 $X \sim \mathcal{N}(0,1)$ 为标准高斯随机变量，密度为 $f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$。考察平方变换（工程中的能量检波器）$Y = X^2$：

• Step ① 确定取值范围：由于 $X^2 \ge 0$，当 $y < 0$ 时必有 $F_Y(y) = 0,\; f_Y(y) = 0$（▶ P54 01:49）。
• Step ② 从定义出发展开对称双支（▶ P54 01:13–02:56）：当 $y \ge 0$ 时，抛物线 $X^2 \le y$ 等价于双侧区间 $-\sqrt{y} \le X \le \sqrt{y}$，故： $$F_Y(y) = \mathbb{P}(X^2 \le y) = \mathbb{P}\bigl(-\sqrt{y} \le X \le \sqrt{y}\bigr) = F_X\bigl(\sqrt{y}\bigr) - F_X\bigl(-\sqrt{y}\bigr)$$
• Step ③ 求导并利用偶函数对称性合并（▶ P54 02:56–04:56）： 两边对 $y > 0$ 求导，注意到 $\bigl(-\sqrt{y}\bigr)' = -\frac{1}{2\sqrt{y}}$ 的负号与前面的减号抵消变成加号（对应负半轴翻转折叠到正半轴）： $$f_Y(y) = \frac{1}{2\sqrt{y}}\Bigl[f_X\bigl(\sqrt{y}\bigr) + f_X\bigl(-\sqrt{y}\bigr)\Bigr] \xlongequal{f_X(\sqrt{y})=f_X(-\sqrt{y})} \frac{1}{\sqrt{y}}\,f_X\bigl(\sqrt{y}\bigr) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,y^{-1/2}e^{-y/2}, \quad y > 0$$ 张颢老师指出（▶ P54 04:56–05:51）：这个把标准高斯左右两翼折叠到正半轴并经雅可比因子 $\frac{1}{2\sqrt{y}}$ 重塑形状后得到的分布，就是统计学中赫赫有名的自由度为 1 的卡方分布（Chi-Square Distribution），记作 $\chi^2(1)$！

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2.2 欧拉 Gamma 函数 $\Gamma(x)$：将阶乘从正整数延拓到实数与分数（▶ P54 06:16–15:06）

既然有 $1$ 个自由度的 $\chi^2(1)$，就有 $n$ 个独立标准高斯平方和构成的自由度为 $n$ 的卡方分布 $\chi^2(n)$（▶ P54 06:16，在 ▶ P55 03:47 明确写出 $Y = \sum_{k=1}^n X_k^2,\; X_k \stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim} \mathcal{N}(0,1)$）： $$f_{\chi^2(n)}(y) = \frac{1}{2^{n/2}\,\Gamma(n/2)}\,y^{\frac{n}{2}-1}e^{-y/2}, \quad y > 0$$ 公式分母中出现的 $\Gamma(\cdot)$ 正是数学分析中用途极广的欧拉 Gamma 函数（▶ P54 07:46）： $$\Gamma(x) = \int_0^{\infty} t^{x-1} e^{-t}\,\mathrm{d}t, \qquad \Gamma\!\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi} \quad (\text{对应 } n=1 \text{ 时的 } \sqrt{2\pi})$$ 为什么 Gamma 函数在概率论与数学中如此重要？张颢老师在黑板上用一次分部积分给出了核心递推性质（▶ P54 09:33–14:43）： $$\Gamma(x+1) = \int_0^{\infty} t^x e^{-t}\,\mathrm{d}t = \Bigl[-t^x e^{-t}\Bigr]_0^{\infty} + x\int_0^{\infty} t^{x-1}e^{-t}\,\mathrm{d}t = x\,\Gamma(x)$$

• 阶乘的连续延拓：当 $x = n \in \mathbb{N}^+$ 时，反复递推并结合 $\Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-t}\mathrm{d}t = 1$，立得 $\Gamma(n) = (n-1)\Gamma(n-1) = \cdots = (n-1)!$。
• 超越正整数的眼界（▶ P54 13:47–14:43）：普通阶乘 $n!$ 只能对正整数定义，而通过 $\Gamma(x)$，我们竟然可以对分数（如 $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$）、无理数乃至非整负数计算“广义阶乘”！

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2.3 Gamma 分布族 $\Gamma(\alpha, p)$：串联高斯、卡方、指数与 Erlang 的大一统桥梁（▶ P54 15:06–P55 10:11）

利用换元 $t = \alpha x$（▶ P54 16:42–18:18），由 $\int_0^\infty x^{p-1}e^{-\alpha x}\mathrm{d}x = \frac{\Gamma(p)}{\alpha^p}$ 可构造出极具一般性的双参数 Gamma 分布 $\Gamma(\alpha, p)$（张颢老师黑板记尺度/率参数为 $\alpha>0$、形状参数为 $p>0$；部分教材记为 $\Gamma(p, \lambda)$）： $$f(x) = \frac{\alpha^p}{\Gamma(p)}\,x^{p-1}e^{-\alpha x}, \quad x > 0$$ 在 ▶ P54 18:18–P55 10:11，张颢老师揭示了随着参数 $(\alpha, p)$ 取不同特殊值，Gamma 分布如何像一座四通八达的桥梁，将看似毫无瓜葛的四大经典分布彻底贯通：

参数取值 $(\alpha,\, p)$	退化出的具体分布	概率密度表达式 $f(x)\;(x>0)$	课堂揭示的物理与概率内蕴（▶ P54 18:56–P55 09:22）
$\alpha=\frac{1}{2},\; p=\frac{1}{2}$	1 自由度卡方 $\chi^2(1)$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}x^{-1/2}e^{-x/2}$	单个标准高斯变量的平方 $X_1^2$
$\alpha=\frac{1}{2},\; p=\frac{n}{2}$	$n$ 自由度卡方 $\chi^2(n)$	$\frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)}x^{n/2-1}e^{-x/2}$	$n$ 个独立标准高斯的平方和 $\sum_{k=1}^n X_k^2$（自由度 = 独立分量个数）
$\alpha=\frac{1}{2},\; p=1\;(n=2)$	指数分布 $\operatorname{Exp}(1/2)$	$\frac{1}{2}e^{-x/2}$	震撼联系（▶ P55 05:15）：两个独立标准高斯的平方和 $X_1^2+X_2^2$ 竟然就是指数分布！
任意 $\alpha>0,\; p=1$	指数分布 $\operatorname{Exp}(\alpha)$	$\alpha e^{-\alpha x}$	电话交换局等待第 $1$ 个电话呼入（Call-in）的时间
任意 $\alpha>0,\; p=n\in\mathbb{N}^+$	Erlang（爱尔朗）分布	$\frac{\alpha^n}{(n-1)!}x^{n-1}e^{-\alpha x}$	$2n$ 个独立高斯的平方和 $\iff$ $n$ 个独立指数等待时间之和（全部 $n$ 条中继线被占满发生呼损前的总等待时间，▶ P55 08:27）

3.1 蒙特卡罗仿真与逆变换采样定理（Inverse Transform Sampling，▶ P55 10:11–19:36）

在通信信道仿真与金融工程中，我们不可能每次都去大野地里搭基站做物理实验，而必须在计算机里进行蒙特卡罗仿真（Monte Carlo Simulation，▶ P55 10:45）。这就要求计算机能够生成服从任意指定分布函数 $F_X(x)$ 的伪随机数（Pseudo-Random Numbers）。

张颢老师在 ▶ P55 13:07–18:41 证明了支撑整个计算概率论的基石定理——逆变换采样定理：

定理：设目标随机变量 $X$ 的分布函数 $F_X(x)$ 严格单调连续（从而存在逆函数 $F_X^{-1}$）。若 $U \sim \operatorname{Unif}(0,1)$ 是 $[0,1]$ 区间上的标准均匀随机变量，令： $$Y = F_X^{-1}(U)$$ 则 $Y$ 的分布函数与 $X$ 的分布函数完全相同（$F_Y(y) = F_X(y)$，即 $Y \stackrel{d}{=} X$）！

• 黑板一行证明（从定义出发，▶ P55 17:07–18:41）： 由于分布函数 $F_X$ 单调上升，把 $F_X^{-1}$ 逆过去时不等号方向不变；再注意到 $U \sim \operatorname{Unif}(0,1)$ 在 $[0,1]$ 内的分布函数就是恒等映射 $F_U(u) = u$（当 $u = F_X(y) \in [0,1]$ 时），立得： $$F_Y(y) = \mathbb{P}(Y \le y) = \mathbb{P}\bigl(F_X^{-1}(U) \le y\bigr) = \mathbb{P}\bigl(U \le F_X(y)\bigr) = F_U\bigl(F_X(y)\bigr) = F_X(y)$$
• 两步通用生成算法（▶ P55 19:11–P56 00:45）： ① 先在计算机中生成一大批 $[0,1]$ 均匀分布伪随机数 $U_1, U_2, \dots$； ② 将目标分布函数的反函数 $F_X^{-1}(\cdot)$ 作用在它们身上，立刻得到服从目标分布 $F_X$ 的随机样本！

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3.2 计算机如何生成均匀伪随机数？线性同余法与指数分布采样（▶ P56 00:45–08:00）

逆变换采样有两大前提：① 能造出 $\operatorname{Unif}(0,1)$ 随机数；② 能求出反函数 $F_X^{-1}$。

1. 线性同余法（Linear Congruential Generator, LCG，▶ P56 00:45–05:33）： 计算机内部没有量子真随机源，最常用的 rand() 函数采用如下模运算递推公式： $$x_k = (a\,x_{k-1} + b) \bmod c$$
   • 为什么要取很大的整数 $a,b,c$？ 为了让序列 $x_k$ 的周期尽可能长，跳动得忽高忽低、摸不着规律（像真随机一样，▶ P56 01:40–02:36）。
   • C 语言中的 RAND_MAX 与随机种子 srand(time)：由于对 $c$ 取模，生成的整数落在 $[0, c)$ 内，因此 RAND_MAX 恰为模数 $c$（除以 $c$ 即归一化到 $[0,1]$，▶ P56 03:14–04:18）；而递推必须有初值 $x_0$（即种子 Seed），工程上常用当前系统时钟 time(NULL) 作为种子 $x_0$，否则每次运行程序吐出的随机数序列将分毫不差（▶ P56 04:41–05:33）！
2. 黑板实例：生成指数分布随机数（▶ P56 06:05–08:00）： 设目标为 $X \sim \operatorname{Exp}(1)$（分布函数 $F_X(x) = 1 - e^{-x}$），求逆得 $F_X^{-1}(u) = -\ln(1 - u)$。因此只需取 $Y = -\ln(1 - U)$；更妙的是，既然 $U \sim \operatorname{Unif}(0,1)$，那么 $1 - U$ 也严格服从 $\operatorname{Unif}(0,1)$，故在编程时直接写 Y = -ln(U)（对一般参数 $\lambda$ 为 Y = -ln(U) / lambda）即可！

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3.3 指数分布的幂变换：Weibull（威布尔）分布与澡盆曲线全周期建模（▶ P56 08:34–19:34）

在课程最后 11 分钟，张颢老师展示了随机变量函数变换在可靠性工程中的杰作——将指数分布 $X \sim \operatorname{Exp}(\lambda)$ 作幂函数变换（▶ P56 09:08）： $$Y = X^{1/\alpha} \quad (\alpha > 0)$$

• Step ① 从定义推导 Weibull 分布函数与密度（▶ P56 10:09–11:33）： 对于 $y > 0$，由于 $\alpha > 0$，幂函数单调上升： $$F_Y(y) = \mathbb{P}\bigl(X^{1/\alpha} \le y\bigr) = \mathbb{P}\bigl(X \le y^\alpha\bigr) = 1 - e^{-\lambda y^\alpha} \quad\Longrightarrow\quad f_Y(y) = F_Y'(y) = \lambda\alpha\,y^{\alpha-1}e^{-\lambda y^\alpha}$$ 这一分布以瑞典学者 Waloddi Weibull 命名，称为 Weibull（威布尔）分布（▶ P56 11:33）。
• Step ② 计算失效率函数 $r(t)$ 并统一“澡盆曲线”（▶ P56 13:05–19:34）： 单看密度 $f_Y(y)$ 还不觉得惊艳，但一旦代入第 7 讲学过的失效率（Hazard / Failure Rate）定义 $r(t) = \frac{f_Y(t)}{1 - F_Y(t)}$，指数项 $e^{-\lambda t^\alpha}$ 瞬间上下约掉（▶ P56 14:36–15:35）： $$r(t) = \frac{\lambda\alpha\,t^{\alpha-1}e^{-\lambda t^\alpha}}{e^{-\lambda t^\alpha}} = \lambda\alpha\,t^{\alpha-1}$$ 这是一个极其干净的幂函数！只需调节幂指数参数 $\alpha$，就能把“澡盆曲线（Bathtub Curve）”的三个寿命阶段全部囊括其中：
  • $0 < \alpha < 1$（澡盆左侧边缘 · 早期失效期，▶ P56 17:09）：$\alpha - 1 < 0$，$r(t)$ 随时间 $t$ 单调下降（不良品在出厂早期迅速暴露淘汰，越用越稳定）；
  • $\alpha = 1$（澡盆盆底 · 偶然失效平台期，▶ P56 16:22）：$r(t) \equiv \lambda$ 为常数，退化为无记忆性的指数分布；
  • $\alpha > 1$（澡盆右侧边缘 · 耗损老化期，▶ P56 16:46）：$\alpha - 1 > 0$，$r(t)$ 随时间 $t$ 单调上升（器件疲劳磨损，越老越容易坏）！